E-devoirs

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Public

Pour tout entier ? ∈ ℕ ∗ , on considère la fonction ??: ℝ+ → ℝ définie par :
?? (?) = exp (− ?/ ? ) − 2(1 − ?)
1. Dans cette question, l’entier ? ∈ ℕ ∗ est fixé.
(a) Montrer que la fonction ?? est strictement croissante sur ℝ+.
(b) Montrer qu’il existe un unique ?? ∈ ]0,1[ tel que ?? (?? ) = 0.
(c) Montrer que ??+1 (?? ) est strictement positif.
On considère maintenant la suite de terme général ??.
(a) Montrer à l’aide de la question précédente que la suite (?? )?∈ℕ ∗ est décroissante.
(b) En déduire que la suite (?? )?∈ℕ ∗ est convergente. On notera ? = lim?→+∞ ??.
Il s’agit de calculer ?.
(a) Montrer que (− ??/ ? ) tend vers 0 lorsque ? tend vers l’infini.
(b) Conclure

1 réponse

Photo du profil de Aymanb personnel 8 December 2015

Correction:
1. (a) ?? est dérivable sur ℝ+ ?? ′ (?) = − 1/? exp (− ?/? ) + 2 ≤ − 1/? + 2 = (−1 + 2?)/?  > 0
Car ? ≥ 1
La dérivée de ?? étant positive sur l’intervalle ℝ+, ?? est strictement croissante.
(b) ?? (0) = exp(0) − 2(1 − 0) = 1 − 2 = −1 < 0 et ?? (1) = exp (− 1/? ) − 2(1 − 1) = exp (− 1/ ? ) > 0
La fonction ?? étant continue sur l’intervalle [0,1], ?? est une bijection de ]0,1[ sur  ]−1, exp (− 1/? )[, il 
existe un unique ?? ∈ ]0,1[ tel que ?? (?? ) = 0.
(c)
       ?? (?? ) = 0 ⇔ exp (− ?? / ? ) − 2(1 − ?? ) = 0 ⇔ exp (− ??/? ) = 2(1 − ?? )
      ??+1 (?? ) = exp (− ??/ (? + 1) ) − 2(1 − ?? ) = exp (− ?? /(? + 1) ) − exp (− ??/? )
Comme
                  ? + 1 > ?
         On a 1/( ? + 1) < 1/ ?
Puis en multipliant par ?? > 0 ??/( ? + 1) < ??/?
Puis par −1          
                            −??/ ? < − ??/(? + 1)
On obtient
                            exp (− ??/ ? ) < exp (− ?? /(? + 1) )
     Ce qui montre que ??+1 (?? ) > 0
2. (a) Pour tout ? ≥ 1, la fonction ??+1 est strictement croissante sur ℝ+
        0 = ??+1 (??+1 ) < ??+1 (?? ) ⇔ ??+1 < ?n
Donc la suite (?? )?∈ℕ ∗ est strictement décroissante
(b) Comme ?? ∈ ]0,1[, la suite (?? )?∈ℕ ∗ est minorée par 0, comme elle est décroissante, elle converge vers une limite ?.
3. (a) 0 < ?? < 1 donc 0 < ?? ? < 1 ? , d’après le théorème des gendarmes
   lim ?→+∞ ??/ ? = 0 ⇔ lim?→+∞ − ??/? = 0
(b) On fait tendre ? vers l’infini dans l’expression
                 exp (− ??/? ) − 2(1 − ?? ) = 0
                 exp(0) − 2(1 − ?) = 0
 
Ce qui équivaut à
                        1 − 2 + 2? = 0 ⇔ ? = 1/ 2
On a donc   lim?→+∞ ?? = 1/2
 

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