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Pour tout entier 𝑛 ∈ ℕ ∗ , on considère la fonction 𝑓𝑛: ℝ+ → ℝ définie par :
𝑓𝑛 (𝑥) = exp (− 𝑥/ 𝑛 ) − 2(1 − 𝑥)
1. Dans cette question, l’entier 𝑛 ∈ ℕ ∗ est fixé.
(a) Montrer que la fonction 𝑓𝑛 est strictement croissante sur ℝ+.
(b) Montrer qu’il existe un unique 𝑥𝑛 ∈ ]0,1[ tel que 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = 0.
(c) Montrer que 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) est strictement positif.
On considère maintenant la suite de terme général 𝑥𝑛.
(a) Montrer à l’aide de la question précédente que la suite (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ ∗ est décroissante.
(b) En déduire que la suite (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ ∗ est convergente. On notera 𝑥 = lim𝑛→+∞ 𝑥𝑛.
Il s’agit de calculer 𝑥.
(a) Montrer que (− 𝑥𝑛/ 𝑛 ) tend vers 0 lorsque 𝑛 tend vers l’infini.
(b) Conclure

1 réponse

Photo du profil de Aymanb personnel 8 December 2015

Correction:
1. (a) 𝑓𝑛 est dérivable sur ℝ+ 𝑓𝑛 ′ (𝑥) = − 1/𝑛 exp (− 𝑥/𝑛 ) + 2 ≤ − 1/𝑛 + 2 = (−1 + 2𝑛)/𝑛  > 0
Car 𝑛 ≥ 1
La dérivée de 𝑓𝑛 étant positive sur l’intervalle ℝ+, 𝑓𝑛 est strictement croissante.
(b) 𝑓𝑛 (0) = exp(0) − 2(1 − 0) = 1 − 2 = −1 < 0 et 𝑓𝑛 (1) = exp (− 1/𝑛 ) − 2(1 − 1) = exp (− 1/ 𝑛 ) > 0
La fonction 𝑓𝑛 étant continue sur l’intervalle [0,1], 𝑓𝑛 est une bijection de ]0,1[ sur  ]−1, exp (− 1/𝑛 )[, il 
existe un unique 𝑥𝑛 ∈ ]0,1[ tel que 𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = 0.
(c)
       𝑓𝑛 (𝑥𝑛 ) = 0 ⇔ exp (− 𝑥𝑛 / 𝑛 ) − 2(1 − 𝑥𝑛 ) = 0 ⇔ exp (− 𝑥𝑛/𝑛 ) = 2(1 − 𝑥𝑛 )
      𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) = exp (− 𝑥𝑛/ (𝑛 + 1) ) − 2(1 − 𝑥𝑛 ) = exp (− 𝑥𝑛 /(𝑛 + 1) ) − exp (− 𝑥𝑛/𝑛 )
Comme
                  𝑛 + 1 > 𝑛
         On a 1/( 𝑛 + 1) < 1/ 𝑛
Puis en multipliant par 𝑥𝑛 > 0 𝑥𝑛/( 𝑛 + 1) < 𝑥𝑛/𝑛
Puis par −1          
                            −𝑥𝑛/ 𝑛 < − 𝑥𝑛/(𝑛 + 1)
On obtient
                            exp (− 𝑥𝑛/ 𝑛 ) < exp (− 𝑥𝑛 /(𝑛 + 1) )
     Ce qui montre que 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) > 0
2. (a) Pour tout 𝑛 ≥ 1, la fonction 𝑓𝑛+1 est strictement croissante sur ℝ+
        0 = 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛+1 ) < 𝑓𝑛+1 (𝑥𝑛 ) ⇔ 𝑥𝑛+1 < 𝑥n
Donc la suite (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ ∗ est strictement décroissante
(b) Comme 𝑥𝑛 ∈ ]0,1[, la suite (𝑥𝑛 )𝑛∈ℕ ∗ est minorée par 0, comme elle est décroissante, elle converge vers une limite 𝑥.
3. (a) 0 < 𝑥𝑛 < 1 donc 0 < 𝑥𝑛 𝑛 < 1 𝑛 , d’après le théorème des gendarmes
   lim 𝑛→+∞ 𝑥𝑛/ 𝑛 = 0 ⇔ lim𝑛→+∞ − 𝑥𝑛/𝑛 = 0
(b) On fait tendre 𝑛 vers l’infini dans l’expression
                 exp (− 𝑥𝑛/𝑛 ) − 2(1 − 𝑥𝑛 ) = 0
                 exp(0) − 2(1 − 𝑥) = 0
 
Ce qui équivaut à
                        1 − 2 + 2𝑥 = 0 ⇔ 𝑥 = 1/ 2
On a donc   lim𝑛→+∞ 𝑥𝑛 = 1/2
 

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