E-devoirs

Résolu
Public

Questions  
Soit 𝐴 une partie non vide de ℝ.
1. Donnez la définition d’une borne inférieure pour 𝐴.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que 𝐴 admette une borne inférieure.
3. Si 𝐴 admet 𝑎 comme borne inférieure et si 𝐴 ⊂ ℚ, a-t-on nécessairement, 𝑎 ∈ ℚ ?
 Soit 𝑥 ∈ ℝ tel que pour tout 𝜖 > 0, |𝑥| ≤ 𝜖. Montrer que 𝑥 = 0.

1 réponse

1. Pour tout 𝑀 La partie 𝐴 admet une borne inférieure s’il existe 𝑏 ∈ 𝐴 (𝑏 est la borne inférieure de 𝐴) tel que pour tout 𝑎 ∈ 𝐴 , 𝑏 ≤ 𝑎 et pour tout 𝑥 minorant 𝐴, on a 𝑥 ≤ 𝑏.
2. 𝐴 admet une borne inférieure si et seulement si 𝐴 est minorée.
3. 𝐴 = {𝑟 ∈ ℚ; 𝑟 2 < 2} admet −√2 comme borne inférieure et −√2 ∉ ℚ.
 Supposons que 𝑥 ≠ 0, alors il suffit de prendre 𝜖 = |𝑥|/2 pour montrer que pour tout 𝜖 > 0, |𝑥| < 𝜖 est faux donc 𝑥 = 0.

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