E-devoirs

Résolu
Public

Questions  
Soit ? une partie non vide de ℝ.
1. Donnez la définition d’une borne inférieure pour ?.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ? admette une borne inférieure.
3. Si ? admet ? comme borne inférieure et si ? ⊂ ℚ, a-t-on nécessairement, ? ∈ ℚ ?
 Soit ? ∈ ℝ tel que pour tout ? > 0, |?| ≤ ?. Montrer que ? = 0.

1 réponse

1. Pour tout ? La partie ? admet une borne inférieure s’il existe ? ∈ ? (? est la borne inférieure de ?) tel que pour tout ? ∈ ? , ? ≤ ? et pour tout ? minorant ?, on a ? ≤ ?.
2. ? admet une borne inférieure si et seulement si ? est minorée.
3. ? = {? ∈ ℚ; ? 2 < 2} admet −√2 comme borne inférieure et −√2 ∉ ℚ.
 Supposons que ? ≠ 0, alors il suffit de prendre ? = |?|/2 pour montrer que pour tout ? > 0, |?| < ? est faux donc ? = 0.

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